由英國科普作家湯姆·奇弗斯所著的《貝葉斯定理》揭示了貝葉斯定理的本質(zhì)：它不僅是概率論領(lǐng)域的一個(gè)重大革新，更是幫助我們在不確定性中清晰思考與決策的科學(xué)工具。貝葉斯定理能夠讓我們持續(xù)更新認(rèn)知，動態(tài)調(diào)整決策，量化不確定性因素，打破經(jīng)驗(yàn)迷信，區(qū)分能改變的和不能改變的，保持內(nèi)在穩(wěn)定，接納必然的不確定性。

《貝葉斯定理》的原書名直譯為“凡事皆可預(yù)測”，但所有預(yù)測都存在一個(gè)問題，即結(jié)果的不確定性。所謂的貝葉斯定理，其實(shí)是一個(gè)簡潔的等式。它根據(jù)已知信息估算某件事發(fā)生的概率。具體來說，它是一種條件概率。公式中的豎線“|”是“在此情況下”或“以此為前提條件”的簡寫，P（A|B）則指“在事件B已經(jīng)發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率”。

提出貝葉斯定理的是托馬斯·貝葉斯，他是一個(gè)生活在18世紀(jì)的英國長老會牧師。他生前寫過一本神學(xué)書，以及一本分析牛頓微積分學(xué)的書。在他去世后，他的朋友理查德·普賴斯發(fā)現(xiàn)了他的一些論文以及一些未完成的筆記。對其整理之后發(fā)表在英國皇家學(xué)會的《自然科學(xué)會報(bào)》上，其內(nèi)容就是貝葉斯定理。

貝葉斯定理表達(dá)的是一種概率論。它不僅能夠幫助我們分辨推理中的謬誤，還能告訴我們某些更深刻的東西。其中的“相反”往往是問題的關(guān)鍵，即一個(gè)巧合的概率有多大。其實(shí)，這是一種類似“反概率”的問題：概率論關(guān)心的是給定情況下可能會發(fā)生什么，而不是已經(jīng)發(fā)生了什么。

貝葉斯定理代表了理想決策，決策能在多大程度上遵循貝葉斯定理，決定了該決策在多大程度上是一個(gè)正確的決策。人類似乎就是一臺貝葉斯機(jī)器，我們的大腦、感知似乎都是通過“預(yù)測世界-先驗(yàn)概率-通過感官獲得新數(shù)據(jù)-更新自己的預(yù)測”這種方式工作的。我們對世界的意識體驗(yàn)似乎就是最佳的先驗(yàn)概率。

■ 罕見的事情的確會發(fā)生

現(xiàn)代概率論的肇起于17世紀(jì)時(shí)的布萊斯·帕斯卡和皮耶·德·費(fèi)馬之間的通信。他們討論了“分賭注問題”，即賭博中斷時(shí)如何公平分配賭注。他們通過計(jì)算玩家獲勝的概率，確立了期望值的概念，為概率論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。而瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利則將概率論的發(fā)展推向了新階段。伯努利通過數(shù)學(xué)證明，拋硬幣的次數(shù)越多，其分布越接近“真實(shí)”概率。根據(jù)對整體的認(rèn)知情況推測個(gè)別事件的概率，就是“概率推斷”；而根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果推測整體的情況，就是“統(tǒng)計(jì)推斷”。

伯努利發(fā)現(xiàn)，我們永遠(yuǎn)不可能百分之百確信自己的結(jié)論就是真實(shí)答案，只能盡可能地接近真實(shí)的答案——不同結(jié)論具有不同的置信度。概率不僅存在于游戲和賭博中，人類其實(shí)每時(shí)每刻都和概率打交道，比如判斷謀殺案的兇手時(shí)需要分析概率，研究文件是否經(jīng)過偽造時(shí)也要分析概率。雖然我們永遠(yuǎn)都不可能確切地知道任何事情，但我們的確知道不同的事件有不同的概率。但是，奧布里·克萊頓在《伯努利的謬誤》中認(rèn)為，伯努利所討論的的是“抽樣概率”，而不是“推斷概率”，他沒有將兩者區(qū)分開來。

亞布拉罕·棣莫弗是一名來自法國的新教徒，他成功地將伯努利的理論向前推進(jìn)了一步。不過，他關(guān)注的并不是數(shù)字大小，而是曲線形狀。拋硬幣的次數(shù)N越大，曲線就會越清晰。與其費(fèi)力地用公式去計(jì)算拋100次硬幣出現(xiàn)6次正面的概率，還不如去分析曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后利用該表達(dá)式來計(jì)算某種結(jié)果的概率。這條曲線就是著名的“正態(tài)分布曲線”，也就是“鐘形曲線”。伯努利只發(fā)現(xiàn)了樣本量越大，結(jié)果越精確；而棣莫弗則更進(jìn)一步，實(shí)現(xiàn)了理論的量化。

有一個(gè)與貝葉斯同名的人，即托馬斯·辛普森在1755年發(fā)表了一篇分析天文學(xué)觀測誤差的論文。他認(rèn)為，我們應(yīng)該使用所有觀測結(jié)果的均值，而不是“亞里士多德均值”——最大值與最小值加起來除以2。利用大數(shù)定律的某個(gè)特例，他成功證明了自己的觀點(diǎn)。辛普森關(guān)心的是“如何根據(jù)已經(jīng)得到的結(jié)果推算某個(gè)假設(shè)成立的概率”，而不是“如何根據(jù)已經(jīng)構(gòu)建好的假設(shè)推算出現(xiàn)某個(gè)特定結(jié)果的概率”。這就是所謂的“分析推斷”。這個(gè)偉大的嘗試，使得統(tǒng)計(jì)學(xué)終于脫離了“賭場老手的數(shù)學(xué)游戲（或贏錢秘訣）”的范疇，成為一種有著廣泛意義的推理工具。

貝葉斯在給辛普森論文審稿時(shí)就開始思考“統(tǒng)計(jì)推斷”，或者說“反概率”的問題了。在貝葉斯看來，概率只是“世界不為人知的那一面的一種描述方式”。也就是說，概率是一種主觀的東西，是人們對未知領(lǐng)域、對真理的最佳推測的一種表述。如果有100萬顆紅球全落在了左側(cè)，那么根據(jù)貝葉斯理論，下一顆紅球仍然有可能出現(xiàn)在右側(cè)，其概率為1/1000002。每一條新信息都能讓我們更接近“100%的把握”，但我們永遠(yuǎn)不可能真的達(dá)到“100%的把握”。

貝葉斯去世后，為他整理論文的理查德·普賴斯可謂是世界上“第一位貝葉斯主義者”。他試圖將上帝從大衛(wèi)·休謨的手中拯救回來。休謨認(rèn)為，再多的證據(jù)都不能讓人相信世上的確發(fā)生了違反自然規(guī)律的神跡。休謨的觀點(diǎn)本身是一個(gè)概率問題：我們這一生幾乎從未看到過違反自然規(guī)律的事情，卻見證了太多的謊言。然而，普賴斯卻認(rèn)為罕見的事情的確會發(fā)生。即使你已經(jīng)看到了100萬次太陽升起，看到了100萬次浪起潮涌，你也不可能百分之百確信這種事情還會繼續(xù)發(fā)生。同樣，就算我們一輩子都沒見過死人復(fù)活，也不能百分之百地肯定它永遠(yuǎn)不會發(fā)生。

將伯努利、棣莫弗和辛普森三人的研究成果綜合在一起，就可以得出，在測量過程只存在隨機(jī)誤差、不存在系統(tǒng)誤差的情況下，如果我們對某個(gè)事件進(jìn)行大量觀察，其結(jié)果會趨向于分布在真值附近。真值即真實(shí)值，在一定條件下，被測量客觀存在的實(shí)際值。貝葉斯進(jìn)一步證明，如果我們事先對真值進(jìn)行預(yù)估，得出其最有可能的先驗(yàn)概率，那我們就可以利用它和觀測結(jié)果做出推斷——圍繞發(fā)生的事情建立一個(gè)合理假說。

真正將概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用到社會科學(xué)領(lǐng)域的人是比利時(shí)數(shù)學(xué)家阿道夫·凱特勒。他對統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要貢獻(xiàn)在于他提出了“平均人”的概念。他為人口不同特征設(shè)立了不同的數(shù)軸。他發(fā)現(xiàn)，諸如身高、體重、力量等數(shù)據(jù)大都呈正態(tài)分布。人們的身高、體重、力量甚至自殺等行為傾向，都是由許許多多微小的影響造成。它們通常不會都對結(jié)果造成正面影響，也不會都對結(jié)果造成負(fù)面影響，而是二者皆有。所以人們的身高、體重、飲酒情況等特征才會集中在全部人口的均值附近，呈正態(tài)分布。然而，他沒有意識到很多數(shù)據(jù)并不呈正態(tài)分布，錯(cuò)誤地將所有數(shù)據(jù)都納入正態(tài)分布的范疇。

■ 貝葉斯定理：從結(jié)果走向假設(shè)

盡管貝葉斯們?yōu)楦怕式y(tǒng)計(jì)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，但在日常工作中，統(tǒng)計(jì)學(xué)家、科學(xué)家并不會使用貝葉斯定理，因?yàn)樗麄兇蠖鄶?shù)人都屬于所謂的頻率學(xué)派。頻率學(xué)派所做的事情剛好與貝葉斯學(xué)派相反。貝葉斯定理能夠帶領(lǐng)我們從結(jié)果走向假設(shè)，即如何根據(jù)已經(jīng)得到的結(jié)果推算某個(gè)假設(shè)成立的概率；頻率學(xué)派則是從假設(shè)走向結(jié)果，即如何根據(jù)已經(jīng)構(gòu)建好的假設(shè)推算出現(xiàn)某個(gè)特定結(jié)果的概率。

貝葉斯所謂的“先驗(yàn)概率”是指根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和分析得到的概率。這本質(zhì)上是一個(gè)哲學(xué)問題：我們判斷具有主觀性。“先驗(yàn)”描述的并不是世界本身，而是我們自身的已知和無知。貝葉斯理論似乎在告訴我們，某件事是真是假，取決于一開始我們對它的信念有多堅(jiān)定。如此，概率最終是主觀的、個(gè)人的，而不是真實(shí)的、客觀的。頻率學(xué)派興起的原因，似乎就是對“主觀性”的厭惡。

頻率學(xué)派涌現(xiàn)出兩位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家——卡爾·皮爾遜和羅納德·費(fèi)希爾。皮爾遜提出了“卡方檢驗(yàn)”理論，幫助數(shù)學(xué)家判斷數(shù)據(jù)樣本是否符合正態(tài)分布，還是符合其他什么分布。此外，他還是“標(biāo)準(zhǔn)差”這個(gè)詞的創(chuàng)造者。費(fèi)希爾則是20世紀(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域的領(lǐng)軍人物。他創(chuàng)造并改進(jìn)了大量統(tǒng)計(jì)工具，其中有許多一直沿用至今。他為方差分析建立了各種數(shù)學(xué)模型；提出了“統(tǒng)計(jì)顯著性”的概念；發(fā)明了“最大似然估計(jì)法”，幫助大家判斷哪種數(shù)據(jù)分布假說能夠?qū)ρ芯繑?shù)據(jù)給出最佳解釋。

“似然”是費(fèi)希爾創(chuàng)造的一個(gè)術(shù)語，最大似然估計(jì)是根據(jù)已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)判斷哪種假說，最有可能產(chǎn)生當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。比如，“硬幣被動過手腳，每次有80%的概率朝上”這個(gè)假說比“硬幣是公平的”，這個(gè)假說更容易產(chǎn)生“拋了10次硬幣，其中有8次正面朝上”這個(gè)結(jié)果，兩種假說的似然比大約為7。最大似然估計(jì)只是幫助我們比較，哪種假設(shè)更容易產(chǎn)生當(dāng)前的試驗(yàn)結(jié)果，但它不能告訴我們哪種假設(shè)更有可能成立。

但皮爾遜指出，最大似然估計(jì)本身屬于貝葉斯理論的范疇——假定每種假設(shè)具有相等的先驗(yàn)概率——然后給出在了（在該假設(shè)之下）最大似然估計(jì)是錯(cuò)誤理論的證明。然而，費(fèi)希爾從內(nèi)心深處討厭貝葉斯主義，皮爾遜也不認(rèn)同把概率和主觀扯上關(guān)系。關(guān)鍵的問題集中在“如果我們不知道哪種結(jié)果最有可能發(fā)生，那我們就應(yīng)當(dāng)認(rèn)為它們發(fā)生的概率相等”這個(gè)觀點(diǎn)之上。

約翰·斯圖爾特·密爾曾批判過貝葉斯定理。他在1843年寫道：“只知道兩件事必有一件發(fā)生，但無法確定哪件事發(fā)生，不足以說明兩件事發(fā)生的概率相等。我們必須用經(jīng)驗(yàn)事實(shí)去證明兩件事發(fā)生的頻次相等。”密爾認(rèn)為，“概率只是我們對自身的無知的一種描述”這種說法非常愚蠢。在他的觀念中，概率反映的世界的真實(shí)狀況，即事件發(fā)生的頻次。經(jīng)驗(yàn)表明，只要拋硬幣的次數(shù)足夠多，正面朝上和反面朝上的次數(shù)就差不多；而且拋的次數(shù)越多，正面朝上和反面朝上的次數(shù)就越趨近于相等。

如果用一句話來描述貝葉斯學(xué)派和頻率學(xué)派的分歧，大概就是這樣：貝葉斯學(xué)派認(rèn)為概率是主觀的，是人類對這個(gè)世界的無知程度的一種描述；而頻率學(xué)派認(rèn)為概率是客觀的，是我們對大量實(shí)驗(yàn)中某個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的頻次的一種描述。

貝葉斯學(xué)派在相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)都處于弱勢，而以羅納德·費(fèi)希爾、卡爾·皮爾遜為代表的頻率學(xué)派已經(jīng)逐漸成為科學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家的標(biāo)準(zhǔn)學(xué)說。雖然對貝葉斯理論感興趣的人越來越少，但它并未就此消亡。在某些問題上，它仍然是唯一的統(tǒng)計(jì)方法，而費(fèi)希爾本人也同意這一點(diǎn)。

劍橋大學(xué)地球物理學(xué)家哈羅德·杰弗里斯是早期貝葉斯主義科學(xué)觀的關(guān)鍵人物，他認(rèn)為“貝葉斯定理之于概率論，就如同勾股定理之于幾何學(xué)”。1926年，杰弗里斯發(fā)現(xiàn)地核是液態(tài)的——上地幔主要以硅為核心元素的石頭構(gòu)成，地核主要由鐵元素和鎳元素構(gòu)成。他試圖利用各個(gè)地震臺探測到地震波的時(shí)間，來確定震中的位置，以及地震波穿過物質(zhì)的性質(zhì)。但地震是一個(gè)相對罕見的現(xiàn)象，即便探測到數(shù)據(jù)，其中也會摻雜大量干擾數(shù)據(jù)，整個(gè)過程充滿了不確定性。因此，只能據(jù)此得出一些初步性結(jié)論，然后再根據(jù)新信息一步一步地更新、更正結(jié)論，這一過程依據(jù)的不再是“不確定性”，而是“置信程度”。換句話說，這一過程就是貝葉斯式的。

當(dāng)每次獲得新信息時(shí)，杰弗里斯都會更新自己對假設(shè)的先驗(yàn)置信度：“每次科學(xué)進(jìn)步都是先從完全無知開始的，然后隨著證據(jù)的增加，逐漸建立一個(gè)越來越有說服力的假說，直到其置信度達(dá)到一個(gè)可以接受的水平。科學(xué)不確定的那一部分，恰恰是其最有趣的內(nèi)容。”他認(rèn)為任何事情都存在不確定性，哪怕科學(xué)定律也不例外。他認(rèn)為所有形式的不確定性都可以用概率來描述。貝葉斯學(xué)派終于得以重整旗鼓，其中有很大一部分原因是杰弗里斯的那些方法論幾乎像民間偏方一樣流傳了下來。

■ 貝葉斯定理教會我們行事

如果將貝葉斯引入投資，我們可以看到，巴菲特的投資組合策略與貝葉斯定理有著密切的聯(lián)系。巴菲特的投資策略強(qiáng)調(diào)集中投資，即選擇少數(shù)幾家具有強(qiáng)大盈利能力和明顯商業(yè)特許權(quán)的公司進(jìn)行投資。這種策略與貝葉斯定理中的理念不謀而合，即基于先驗(yàn)信息和最新證據(jù)來動態(tài)調(diào)整投資判斷。

貝葉斯定理是一種概率推理方法，它允許根據(jù)新的證據(jù)或信息更新對某事件發(fā)生的概率估計(jì)。在巴菲特的投資決策中，先驗(yàn)概率可以被視為基于公司歷史表現(xiàn)和財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的評估，而新證據(jù)則是關(guān)于公司最新業(yè)務(wù)發(fā)展、市場反饋和管理層決策的信息。

巴菲特的投資方法的核心是，如果一家公司已經(jīng)顯示出強(qiáng)大的競爭優(yōu)勢和穩(wěn)定的盈利能力（高先驗(yàn)概率），那么任何關(guān)于公司未來表現(xiàn)的新信息（似然概率）都可以用來更新投資判斷，從而得出更有信心的投資決策（后驗(yàn)概率）。這種方法與貝葉斯定理的核心概念——根據(jù)新證據(jù)更新概率估計(jì)——是一致的。通過這種方式，巴菲特的投資組合得以構(gòu)建在具有高度確定性和可持續(xù)性的企業(yè)上，這也正是貝葉斯定理在投資決策中應(yīng)用的魅力所在。

在《巴菲特的投資組合》一書中，羅伯特·哈格斯特朗指出，貝葉斯定理教會我們一種邏輯分析方法，即為什么在眾多可能性中只有某一種結(jié)果會發(fā)生。從概念上這是一種簡單的步驟。我們首先基于所掌握的證據(jù)為每一種結(jié)果分配一個(gè)概率，當(dāng)更多的證據(jù)出現(xiàn)時(shí)，我們對原有的概率進(jìn)行調(diào)整以反映新的信息。

其中最好的案例就是巴菲特對可口可樂時(shí)的推理過程。巴菲特很早就接觸可口可樂，從兒童時(shí)就積極從商店購進(jìn)可樂并銷售出去賺差價(jià)，一直到購買可口可樂股票的前夕，可口可樂都未曾離開他的視野。

當(dāng)時(shí)可口可樂因多元化導(dǎo)致公司業(yè)務(wù)分散，低效資產(chǎn)過多拖累主業(yè)，且競爭對手增長強(qiáng)勁擠占其市場占有率，業(yè)績和股價(jià)都持續(xù)低迷。由于可口可樂有著相當(dāng)長的經(jīng)營歷史可查，以及近百年的數(shù)據(jù)匯聚起來的業(yè)績頻數(shù)分布圖，因此雖然公司經(jīng)營不善，但其公司的品牌和價(jià)值仍在。這是推理過程的第一步。巴菲特注意到公司新任的管理層正在做一些提升公司價(jià)值的事情，這些事情提升了公司升值的概率：如賣掉經(jīng)營不佳的企業(yè)，主動退出非核心業(yè)務(wù)。并將出售業(yè)務(wù)所得重新投入核心業(yè)務(wù)也是更賺錢的業(yè)務(wù)中。推理的第二步讓巴菲特知道公司的業(yè)績和財(cái)務(wù)狀況憑借新任管理層的運(yùn)作即將好轉(zhuǎn)。可口可樂的管理層在改善運(yùn)營的同時(shí)還積極地回購公司的股票，從而進(jìn)一步增加企業(yè)的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。 這是推理過程的第三步。   

在這三步的分析中，每一步都會使得投資可口可樂盈利概率的增加。巴菲特分析時(shí)的這些信息并非同時(shí)出現(xiàn)，而是漸進(jìn)式的。因此根據(jù)貝葉斯定理的原則，每一步出現(xiàn)的信息都會導(dǎo)致確定性概率的增加，讓投資的風(fēng)險(xiǎn)降低的同時(shí)提升預(yù)期收益率。

正如巴菲特所總結(jié)的：“投資本質(zhì)上是概率游戲，貝葉斯教會我們?nèi)绾斡眯滦畔⑿拚裏o知。” 這種動態(tài)認(rèn)知更新能力，正是其穿越經(jīng)濟(jì)周期的核心武器。查理·芒格也曾總結(jié)道：“貝葉斯定理教會我們，智慧的本質(zhì)是承認(rèn)無知——當(dāng)你獲得新信息時(shí)，要有勇氣說‘我之前的結(jié)論有X%可能是錯(cuò)的’。” 這種動態(tài)認(rèn)知修正機(jī)制，正是他們超越市場平均收益率的底層邏輯之一。貝葉斯定理就是“過去經(jīng)驗(yàn)”加上“新的證據(jù)”得到“修正后的判斷”，即用經(jīng)驗(yàn)修正理論。貝葉斯主義的首要目標(biāo)是分辨出有用的模型。

如今，貝葉斯主義在經(jīng)濟(jì)學(xué)中已經(jīng)變得越來越無所不在了。不過，統(tǒng)計(jì)學(xué)家倫納德·薩維奇在《統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)》中指出，只有在“小世界”中運(yùn)用貝葉斯決策理論才是理性的。而宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和高級金融的世界最不可能是小世界。大小世界的區(qū)別很重要，在小世界里，人們可以藉由追求期望效用的最大化來解決問題；而在大世界里，人們實(shí)際生活在其中。

在這個(gè)復(fù)雜的宇宙中，沒有任何認(rèn)識是確定無誤的，無論原因是現(xiàn)實(shí)的物理本質(zhì)、經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的欠缺、混沌現(xiàn)象的存在，還是我們在計(jì)算能力上的限制。查爾斯·達(dá)爾文早就斷言，那些因缺陷而無法繁衍的物種不可避免走向滅亡，因此，在至今仍然存活的物種中，重大缺陷極少。理論也是如此。所以，我們需要沉浸在激情、著迷和疑問之中。